Bokserien Hva er … har endelig, etter snart 50 andre emner, kommet til matematikk. Merkelig, kanskje, for matematikk ble allerede av Galileo omtalt som “dronningen blant vitenskapene”. Bortsett fra morsmål er matematikk dessuten skolens største og dermed viktigste fag. Og slik er det i omtrent alle land. Matte er på topp, og så kommer røkla. Hva er det med matematikken som gir den en slik enestående stilling? Alternativene er mange: Noen mener at matematikk er det nyttigste faget på skolen. Andre mener at matematikk er ren og pur intelligens, og at det trener vår hjerne til å tenke logisk og riktig. Andre vil si at matematikk er unyttig og abstrakt, preget av pugg og drill, men et godt redskap for å sortere elever og stemple noen som dumme. Atter andre vil hevde at matematikk er et kulturfag, et estetisk fag, et fag med skjønnhet, harmoni og poesi. Forfatteren av denne boka, Lisa Lorentzen, mener først og fremst det siste, og denne fascinasjonen preger hennes framstilling. Jeg er ikke overbevist om at alle vil følge henne på ferden.
Bokas budskap
Man kunne kanskje vente at en bok om hva matematikk er, skulle ta leseren med på en reise gjennom noen av de temaer som alle kjenner igjen fra skole og utdanning: aritmetikk og regning, algebra, geometri, topologi, funksjoner, derivasjon, kanskje statistikk, osv. Mye av dette dukker selvsagt opp i boka, men bare sporadisk, som illustrasjoner til andre poeng.
Lorentzen velger altså en annen tilnærming enn den faglig systematiske. Hun skriver i innledningen:
“Poenget med denne boka er ikke å beskrive de ulike grenene innen matematikken. Det jeg vil, er å belyse hva som er mål og mening med matematikk og hvordan en matematiker tenker og arbeider.” I den samme innledningen gir hun en forsmak på hva som for henne er matematikk:
“Jeg vil påstå at faget også har store fellestrekk med kunst, det være seg musikk, billedkunst, dans eller poesi. Rytme, struktur, lengsel, og denne følelsen av styrke innen stramme rammer som gir både intensitet og retning. Alt dette finnes også i matematikken. Faget er fullt av dramatikk og skjønnhet – og intens glede når alt stemmer.”
Poetisk og vakkert sagt, og sikkert ærlig ment. Andre matematikere hevder noe av det samme. Som for eksempel Bertrand Russel som omtaler matematikken i poetiske vendinger i essayet The Study of Mathematics fra 1919:
“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.”
Så lidenskapelig omtaler mange matematikere kjærligheten til faget sitt. Og Lisa Lorentzen tar konsekvensen av dette perspektivet. Derfor har bokas seks hovedkapitler andre navn enn kapitlene i en lærebok eller i et leksikonoppslag for ordet matematikk: “Matematikk og tall”, “Matematikk og verden”, “Matematikk og struktur”, “Matematikk og sannhet”, “Matematikk og uendeligheten”, “Matematikk og skjønnhet.”
Forfatteren har altså en klar intensjon, men den er det ikke lett å leve opp til i en bitte liten bok der illustrasjonene i tillegg er på størrelse med frimerker. Det vakre i intrikate og fargerike fraktalmønstre eller Escher-litografier kommer ikke til sin rett. Det er heller ikke enkelt å formidle matematikkens nærhet til malerkunst, dans eller musikk uten lyd, uten bevegelse og uten bilder. For det er slike paralleller hun så gjerne vil ha fram.
Matematikk er på mange måter et språk, men det er et språk uten bokstaver, ord og setninger. Matematikken har sin egen formalisme, sin egen notasjon, sine egne symboler, konvensjoner og regler. Men i denne boka har forfatteren likevel en ambisjon om å unngå matematikkens språk. Hun ønsker å beskrive matematikken “uten bruk av avanserte formler og faguttrykk”, slik det også står på bokas vaskeseddel. Slett ingen enkel oppgave.
Boka er skrevet med entusiasme og glød, mye er i jeg- og du-form, direkte rettet mot en leser: “Du har sikkert lurt på …”, “Er det ikke vakkert?”, “Vi kan vel være enige om …”. Til tider klarer Lorentzen å rive med seg en positivt innstilt leser i entusiasmen. Som når hun skriver om fascinasjonen over tallenes egenskaper, eller når hun beskriver forholdet mellom modeller og virkelighet. Men så er det andre partier der en leser kan få store problemer, for eksempel når det dukker opp begreper og formler som så absolutt krever matematisk kunnskap. Det viser seg altså, ikke uventet, at det slett ikke er enkelt å skrive en bok om matematikk uten å bruke matematikkens eget språk.
Matematikk, sannhet og virkelighet
Boka gir fine eksempler på at matematikken som vitenskap er mange tusen år gammel. Den sprang ut av menneskenes daglige virksomhet: behovet for å telle, måle, handle, dyrke jorda, osv. Slik utviklet ulike kulturer systemer for tall og regning. De utviklet kalendere og tidsregning, ofte knyttet til årstider og til sol, måne og stjerner. Og de utviklet geometri for deling av jord, også etter at flommen hadde visket ut synlige grenser. Matematikken var praktisk og jordnær, nesten i bokstavelig forstand. Man var ikke opptatt av matematiske bevis. Matematikkens sannhetsverdi lå i at den kunne brukes, at den passet som hånd i hanske med den virkelige verden.
Men dette var før matematikken ble den vitenskapen som i dag bærer dette navnet. I dag er matematikken ikke direkte knyttet til egenskaper i den virkelige verden, den består av abstrakte strukturer, ofte formulert i aksiomatiske systemer: definisjoner, aksiomer, deduserte teoremer. Matematiske sannheter er ikke som andre sannheter. De bevises ut fra spillets regler, helt uavhengig av en fysisk virkelighet.
Likevel: Naturvitenskap og matematikk har i nyere tid levd i et symbiotisk forhold. Naturvitere bruker matematikk, og matematikere lar seg inspirere av nyvinninger og oppdagelser innen naturvitenskap. Galileo Galilei var den første moderne tenkeren som hevdet at naturens lover er “skrevet i matematikkens språk, og dens bokstaver er trekanter, sirkler og andre geometriske former. Uten å lære dette språket ville man ikke forstå noen ting, men vandre rundt i en mørk labyrint”. Dette er enda mer sant i dag.
Matematikkens egenart
Hva er matematikk gir faktisk ikke noe klart svar på hva matematikk er, slik man kanskje kunne vente i et fag der stringens og klare definisjoner er grunnlaget. Men fraværet av klart svar på dette spørsmålet er ikke så merkelig, for det finner man heller ikke i andre, tilsvarende framstillinger. Heller ikke i leksika, der det ofte pekes på at det ikke finnes noen enighet på dette området. Men alle synes enige om at matematikk er en vitenskap som tar for seg begreper som mengde, struktur, rom og endring. Det er også enighet om at matematikk dreier seg om å undersøke abstrakte strukturer, deres egenskaper og mønstre. Dette er et kjernepunkt i matematikk, og det kommer godt fram i boka. Og det gjør at matematikk ikke er sann eller gal på samme måte som påstander om den konkrete virkeligheten vi alle lever i. I den virkelige verden kan man, i alle fall i prinsippet, undersøke empirisk om en påstand er sann eller usann, riktig eller gal. Naturvitenskapene, i motsetning til matematikken, handler om vår virkelige verden. Naturvitere prøver å unngå å snakke om sannhet, i alle fall ikke om Sannheten med stor S. Naturvitere er (eller bør være!) klar over at deres lover og teorier kan vise seg å være feilaktige, og at kunnskapen deres dermed er forgjengelig.
Ikke slik i matematikk. Matematikere kan operere med Sannheter som evige, sanne og bevist for all evighet. Amen. Eller som vi lærte på skolen: QED, en forkortet utgave av den latinske frasen “quod erat demonstrandum”, altså “hvilket skulle bevises”. I dagens matematikk skriver man gjerne “vist” eller planter en firkant som et stort punktum etter et bevis. Slik: ■. Siste ord er sagt. Det er intet å tilføye.
Matematikken er kanskje den eneste vitenskapen som i fullt alvor kan si de kommer fram til ren og ubesudlet, absolutt sannhet. Men det er bare én hake: Det dreier seg ikke om sannheter om den verdenen vi lever i, men om de abstrakte størrelser som matematikerne har funnet opp.
Einstein skal ha sagt det slik: “As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they don’t refer to reality.” Den abstrakte matematikken springer altså ut av den virkelige verden, men har fjernet seg fra denne gjennom ren og pur abstraksjon. Men så viser det seg likevel at denne merkelige og nærmest selvopptatte tankebygningen er perfekt til å beskrive og forstå den virkelige verden. Galileo fikk rett: Omtrent all moderne naturvitenskap har matematikk som sitt språk. Og ikke bare naturvitenskap, men også samfunnsvitenskapene og en lang rekke andre vitenskaper. Mange “ekte matematikere” liker ikke dette. De ser at deres vakre og elegante tankestrukturer tres ned over en virkelighet som slett ikke tilfredsstiller de betingelser som teoremene hviler på. Men naturviterne er ikke matematikere, de er pragmatikere, og de tar de redskap som er for hånden. Går det, så går det. Og ingeniørene er enda verre enn fysikerne, de tar innersvinger og råsjanser som kan gi enhver ekte matematiker ståpels. I de kretser er “ingeniørmatematikk” ingen hedersbetegnelse. Mange matematikere fortviler over at de klarer ikke å finne opp en matematikk som er sær nok til at den ikke kan (mis)brukes. Matematikkens historie er full av slike eksempler. Synd for matematikerne, men bra for resten av verden.
Hva er matematikk får også fram viktige poeng som at matematikk er et universelt og globalt fellesgods. Matematikk ble utviklet i India, Hellas, Midtøsten, etter hvert i hele verden. Tidløst, evig, universelt. Matematikere utgjør, kanskje mer enn noen annen vitenskap, et internasjonalt samfunn. Matematikk, i alle fall i sin klassiske form, før datamaskinene, er også verdens billigste vitenskap. Matematikeren arbeider med papir og blyant. Eller med tavle og kritt. Og ikke i noen disiplin er det så lett å se hva som er genialt, og hva som ikke er det. Et matematisk bevis er sant, og kan verdsettes på tvers av kulturer og ideologier. Matematikken er selvsagt under sterk utvikling, men gamle tanker blir ikke forkastet, slik som i de fleste andre vitenskaper. En aksiomatisk oppbygd tankestruktur, utviklet fra definisjoner og aksiomer gjennom deduktive beviser, er tidløs.
Matematikk som skolefag
Matematikk har høy status i skole og samfunn. Studier som PISA og TIMSS brukes til å rangere kvaliteten på forskjellige lands skolesystem, og det er i hovedsak kunnskaper i matematikk og naturvitenskap, det vi på norsk kaller realfag, som blir testet. Men resultatene tas som gyldige mål for hele skolens kvalitet. Konsekvensen blir selvsagt at andre fag og andre mål for kvalitet skyves i bakgrunnen. Man måler det som kan måles, og i matematikk og naturvitenskap er det lettere enn i andre fag å vurdere hva som er riktig og galt. Dessuten er det ingen andre fag som er så universelle. Matematikkens lover, så vel som naturlovene, kjenner ingen landegrenser. Slik sett er de ideelle som internasjonale markører for faglig nivå. Men det er nok ikke matematikk som skjønnhet og poesi som blir testet.
Lisa Lorentzen skriver at hun valgte matematikk på skolen “fordi det ikke krevde så mye pugging, men først og fremst kreativitet fra min side”. Mange vil nok stusse ved et slikt utsagn, for dette er nesten motsatsen til hvordan mange minnes sitt møte med skolens matematikk. Kanskje var hun spesielt heldig med sin lærer? Eller kanskje denne læreren forholdt seg nokså fritt til lærebøker, tester og pensum? Det hadde vært fint om hun hadde gitt mer innblikk i hvordan skolens matematikk hadde gitt henne en slik inspirasjon. Det kan hun ta opp i sin neste bok!
Matematikkens kjønn
Forfatteren av boka er professor i matematikk ved NTNU. Hun er en av svært få kvinner i Norge som har en slik tittel. I akademiske stillinger i matematikk er det totalt bare 11 % kvinner, og på professornivå enda færre (og blant disse er det et betydelig antall med utenlandske navn). Dette skjeve faktum i vårt ellers så likestilte land blir dessverre ikke berørt i boka. For matematikk har et maskulint image, både i fagets historie og i dagens samfunn. I boka nevnes det opp mot hundre matematikere. Ingen av dem kvinner. Noen kunne kanskje fortjent en plass, for de finnes faktisk.
Audun Holme er professor emeritus i matematikk ved Universitetet i Bergen. Han har skrevet to store bøker om matematikkens historie (Matematikkens historie. Fra Babylon til mordet på Hypatia (2001) og Matematikkens historie. Fra de arabiske vise til Niels Henrik Abel (2003), begge på Fagbokforlaget). I disse bøkene viser han hvordan kvinner har spilt en stor rolle i utviklingen av matematikk. Holme skriver, som en slags programerklæring:
“Det blir ofte hevdet, med en skråsikkerhet som grenser til historieforfalskning, at det ikke finnes noen kvinner i matematikken før forholdsvis nylig. Men kvinner var aktive i matematikken fra begynnelsen. I middelalderen ble de fortiet og glemt, først i nyere tid har en fattet interesse for dette temaet, kvinnene i matematikkens historie.”
Lorentzen anbefaler mer enn 50 bøker for videre lesning, men disse to norske bøkene om matematikkens historie er ikke nevnt. Lorentzens bok om “dronningen blant vitenskaper” presenterer ingen dronninger, men en veldig lang kongerekke.
Matteangst som diagnose
Et poeng som heller ikke tas opp i boka, er at mange elever og studenter utvikler en slags fobi overfor skolens matematikk. Begrepet matteangst har nå kommet inn også i norsk språk.
I USA har termen “math anxiety” vært brukt i lang tid, og det finnes en omfattende faglitteratur om dette. Eksperter har utviklet en psykologisk teoriramme for å forstå fenomenet, laget tester som diagnostiserer lidelsen, og det er utviklet tiltak som skal kurere angsten. Dette skriver jeg ikke som sarkasme, for fenomenet er reelt nok: Bare tanken på at noe er matte, kan hos enkelte lage mentale sperrer og øke stressnivået. Jeg har gjennom egen forskning opplevd at en oppgave som gis i en mattetime, umiddelbart kan oppfattes som håpløst vanskelig av elevene. Men hvis samme oppgave gis som en tankenøtt i en annen time, klarer mange flere å løse oppgaven.
Men enda viktigere enn å kurere matteangst er det å hindre at den oppstår. Den er nemlig ikke medfødt, men et resultat at elevens møte med skolens matematikk. Men dette krever gode mattelærere, lærere som kan faget og dets metoder, og lærere som ser elevene som individer. Lærerne må i alle fall ikke selv ha en slik fobi! For matteangst kan være smittsomt.
Tilbake til begynnelsen: Både Lorentzen og andre matematikere framhever fagets nære tilknytning til kunstnerisk virksomhet, de bruker ord som poesi, musikk og framfor alt skjønnhet. Dette er jo perspektiver og verdier som man vet (og som forskning bekrefter) har større appell til jenter enn til gutter. Likevel er det nesten bare gutter som blir grepet av matematikken. Dette krever en forklaring. Er det noe ved faget jentene ikke har fått med seg? Eller er det slik at skolens matematikk preges av det motsatte av hva matematikere mener er fagets sanne kjerne – av pugg, drill, kjedelig lærestoff og stadige nederlag? Her har matematikerne, også Lisa Lorentzen, noe å tenke over. Enten må de revidere sitt bilde av fagets egenart, eller så har de en jobb å gjøre med hensyn til å forandre skolens matematikk. Dette tankekorset bør de ta alvorlig. For ingen ekte matematiker kan leve med slike anomalier i sin virkelighetsforståelse.
Hva er matematikk har et stikkordregister på tre små sider. Denne lista må være en arbeidsulykke, enten synderen er forfatter eller forlag. Knapt 100 stikkord, en merkelig samling av ord og uttrykk i teksten. “Femfoldig symmetri” forekommer, men ikke symmetri. “Lovlig deformasjon” er på lista, men ikke deformasjon, “indre vinkel”, men ikke vinkel. Og slik kunne jeg ha fortsatt. Man leter også forgjeves etter viktige begreper som aksiom, postulat, induksjon, deduksjon, geometri, algebra, aritmetikk, funksjon, derivasjon og integrasjon – for å nevne noen. Begrepene finnes selvsagt i boka, men ikke i stikkordlista. Der finner vi imidlertid både “tapetmønster”, “ballong” og “badering”.
En bok skal selvsagt ikke vurderes etter kvaliteten på stikkordlista. Men likevel: En bok som framhever matematikkens struktur, systematikk og logiske sammenheng, hadde fortjent bedre.
Til slutt
Boka avsluttes slik: “Etter hvert er vi matematikerne blitt flinkere til å respektere hverandre og å samarbeide, så jeg ser med forventning mot fremtiden. Sammen må vi klare å skape en bedre verden.” En vakker avslutning, men neppe noen konklusjon på noe som er sagt i boka. Sannheten er vel at matematikere jobber med så mangt, og for så ulike interesser. Mange jobber nok for å skape en bedre verden. Men et stort (og godt betalt) marked for matematikere er på verdens børser, der de konkurrerer med hverandre om å lage de beste systemer for å maksimere profitten for sine investorer. Jeg tviler på at det er matematikkens skjønnhet som driver dem.
Hva er matematikk er innom mange temaer, men man skal nok allerede være på innsiden av faget for å følge med i forfatterens begeistring. Fraværet av en logisk struktur er også påfallende. Boka er ikke basert på matematikkens faglige temaer, og heller ikke på fagets historiske utvikling. Og hovedpoenget, matematikkens skjønnhet, forblir en påstand og ikke en konklusjon.
